Olasılık

Olasılık, temelde iki türe ayrılabilir; öznel olasılık, belirli bir olayın ortaya çıkıp çıkmadığına dair kişisel kararlardan türetilmiş bir olasılık türüdür ve nesnel olasılık ise kaydedilen gözlemleri kullanarak bir olayın olabileceği ihtimalini tahmin etmeye dayanan bir olasılık türüdür. Yani, nesnel olasılık, tekrarlanabilen rastgele bir deneye bağlıdır ve öznel olasılık ise kişiden kişiye, günden güne değişebilen kişisel inançlara ve deneyimlere dayanmaktadır. Nesnel olasılık içerisinde, klasik olasılık ve frekans olasılığı yaklaşımları ele alınabilir. Klasik olasılık, tam olarak deney yapmaya değil de mantıksal bir temele dayanmaktadır. Klasik olasılık tanımına göre, eğer bir deneyde $n$ sayıda örnek nokta varsa, her bir örnek noktanın gerçekleşme olasılığının $1/n$ olacağını söyler. Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, yani, tümdengelim çıkarımları yapılamadığı için klasik olasılık yetersiz kalmıştır. Bunun bir çözümü olarak, tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kaydedilmiştir. Araştırılan popülasyon üzerinde, $n$ adet deney yapılıp ve yapılan bu deneylerde ilgilenilen $A$ olayı $a$ defa gözlemlenmiş ise $A$ olayının gerçekleşme olasılığı, frekans olasılığı yaklaşımına göre $P(A)=a/n$ şeklinde hesaplanmaktadır. Yapılan deney sayısı arttıkça, $P(A)$ giderek sabit bir değere yaklaşacak ve kararlı hale gelecektir ancak sonsuz sayıda deney yapılması mümkün olmadığı için frekans olasılığı da yetersiz kalmıştır. Bu yaklaşımların yetersiz olması nedeni ile, karşılaşılan dünya problemlerini çözmek için, temel olasılık aksiyomlarına dayanan, günümüzde kullanılan modern olasılık yaklaşımı ortaya çıkmıştır.

Gerçek dünya problemlerinde karşılaşılan olaylar, kesin, imkansız ve rassal olarak üçe ayrılır. Rassal (rastgele) bir olay, gerçekleşmesi rastgele olan ve sonucu önceden bilinmeyen bir olaydır. Olasılık kuramı, karşılaşılan bu olaylara yönelik belirsizlikleri ölçmek için çeşitli yöntemler sağlar ve doğru kararlar alabilmeye yardımcı olabilmeyi amaçlar. Yani olasılık kuramı, rassal olaylarla ilgilenir.

Olasılık, bir olayın meydana gelme ihtimalinin sayısal bir ölçüsüdür. Eğer olay, imkansız ise olasılığı $0$ , kesin ise $1$ olmak üzere, bir olayın meydana gelme olasılığının değeri $0$ ve $1$ arasında değişebilir. Rassal bir olayın en temel sonucuna örnek nokta ve olay sonucundaki muhtemel tüm örnek noktaların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Bir olaydaki tüm örnek noktaların olasılıklarının toplamı $1$ ‘dir. Rassal bir olayın sonuçlarını ifade eden sayısal değişkenlere rassal değişken (rastgele değişken) denir.

Rastgele olaylar birer kümedir ve bu nedenle kümeler için geçerli olan işlemler rastgele olaylar üzerinde uygulanabilir. Olaylar ile işlem yapılırken venn şemaları ve ağaç diyagramları sıklıkla kullanılır. $A$ ve $B$ iki olay ve $S$ örnek uzay olmak üzere $A$ ve $B$ olaylarının her ikisine de ait olan örnek noktaların oluşturduğu küme $A \cap B$ ile gösterilir ve $A$ ile $B$ ‘nin kesişim kümesi olarak adlandırılır. $A$ veya $B$ olaylarından en az birine ait örnek noktalarının oluşturduğu küme $A \cup B$ ile gösterilir ve $A$ ile $B$ ‘nin birleşim kümesi olarak adlandırılır. Eğer $A$ ve $B$ ‘nin ortak örnek noktası yok ise bu olaylar ayrık olaylar olarak adlandırılır ve $A \cap B$ kümesinin boş küme olduğu ifade edilir. $A$ olayı $S$ örnek uzayı içerisinde olmak üzere, $A$ ‘da bulunmayan ancak $S$ uzayı içerisinde yer alan diğer bütün örnek noktaların oluşturduğu olaya $A$ olayının tümleyeni denir ve $\overline{A}$ olarak gösterilir. $A$ ve $B$ olayları bir arada gerçekleşemiyorsa bu olaylar karşılıklı olarak birbirini engelleyen (dışlayan) olaylardır. Birbirini engelleyen olaylarda ortak örnek nokta bulunmaz.

$S$ örnek uzayında yer alan $A$ olayının meydana gelme olasılığı $P(A)$ olarak ifade edilir ve olayın gerçekleşmeme olasılığı $P(\overline{A})=1-P(A)$ ile hesaplanır. $A$ ve $B$ olaylarının birleşim olasılığı $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ şeklindedir. $A$ olayının gerçekleşmesi eğer $B$ olayının gerçekleşmesinden etkilenmiyorsa, $A$ ve $B$ olayları bağımsız olaylar olarak adlandırılır ve $A$ ile $B$ olaylarının meydana gelme olasılığı $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ şeklinde ifade edilir. $A$ olayının, $B$ olayına koşullu olasılığı $P(A | B)$ olarak gösterilir. Eğer $P(A|B)=P(A)$ ve $P(B|A)=P(B)$ ise $A$ ve $B$ olayları bağımsızdır. Bağımsız olaylara örnek olarak iki zarın aynı anda atılması verilebilir. Eğer bir olayın gerçekleşmesi diğer bir olayın gerçekleşme olasılığını değiştiriyorsa, bu olaylara bağımlı olaylar denir. Burada ikinci olayın gerçekleşme olasılığı birinci olayın gerçekleşmesine bağlı olarak koşullu bir olasılıktır. $A$ ve $B$ olayları bağımlı olaylar ise $A$ olayının $B$ olayına koşullu olasılığı $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ şeklindedir. $A$ olayının $B$ olayına koşullu olasılığı ile $B$ olayının $A$ olayına koşullu olasılığı her zaman birbirine eşit olmayabilir.

Bayes Teoremi

Bayes Teoremi, İngiliz matematikçi Thomas Bayes tarafından geliştirilen, koşullu olasılıkların hesaplanmasında kullanılan matematiksel bir ifadedir. Bayes Teoremi, matematiksel istatistik ve olasılık teorisi alanındaki en önemli teoremlerden biridir ve makine öğrenmesi alanında da çok sık kullanılır. Bayes Teoremi, bir olayla ilgili olabilecek, önceden bilinen bilgilere dayanarak o olayın olasılığını tanımlar. Kısaca Bayes Teoremi, birden fazla koşullu olasılık değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar.

$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$

$P(A|B)$ = $B$ olayı gerçekleştiğinde $A$ olayının gerçekleşme olasılığı
$P(A)$ = $A$ olayının gerçekleşme olasılığı
$P(B|A)$ = $A$ olayı gerçekleştiğinde $B$ olayının gerçekleşme olasılığı
$P(B)$ = $B$ olayının gerçekleşme olasılığı

Örneğin, gün boyunca yağmur yağması ihtimali nedir gibi bir problemin cevabı öğrenilmek isteniyor. Bütün yağmurlu günlerin 60%’ı bulutlu havalarda başlıyor ancak sabahların yaklaşık 40%’ında bulut görülüyor ve bu ay genellikle kuru geçen bir ay yani $30$ günün yalnızca $2$ ‘sinde yağmur yağıyor. Böyle bir durumda:

$P(Yagmur)$ = Yağmur yağma olasılığı = 15%
$P(Bulut|Yagmur)$ = Yağmur yağdığı zaman havanın bulutlu olma olasılığı = 60%
$P(Bulut)$ = Bulut olma olasılığı = 40%